Högskola och universitet hos Lunds universitet, 7,5 högskolepoäng.
Kursens introducerar grundläggande begrepp, resultat och metoder inom Fourieranalys och syftar till att studenterna utvecklar förståelse för samt förmåga att tillämpa dessa för att beskriva, analysera och lösa relevanta problem kopplade till lineär analys. Kursen syftar vidare till att förbereda studenten för fortsatta studier inom matematik, naturvetenskap och teknik.
Kursen behandlar:
Grundläggande egenskaper hos Fourierserier av funktioner i en variabel. Exponentialform och trigonometrisk form. Riemann-Lebesgues lemma. Elementära villkor för punktvis och likformig konvergens. Gibbs fenomen.
Grundläggande egenskaper hos faltningar av periodiska funktioner i en variabel. Samspelet med Fourierserier. Faltningskärnor och deras tillämpningar vid summering av Fourierserier. Fejérs sats och Weierstrass approximationssats.
Lineära rum och exempel på lineära operatorer. Vektornorm, inre produkt och Cauchy-Schwarz olikhet. Hilbertrum, minsta avstånd till slutna konvexa mängder, projektionssatsen. Ortonormerade system, Bessels olikhet och Parsevals identitet. Fullständighet hos Fouriersystemet.
Grundläggande egenskaper hos Fouriertransformer av funktioner i en variabel. Samspelet med translation, modulation, skalning, derivering och faltning. Laplacetransformer. Elementära villkor för punktvis konvergens av invers Fouriertransform. Något om Schwartzfunktioner och Plancherels identitet.
Tillämpningar mot klassiska partiella differentialekvationer såsom värmeledningsekvationen, vågekvationen och Dirichletproblemet i enkla områden. Variabelseparationsmetoden.